高綱1360

江蘇省高等教育自學(xué)考試大綱

02012  實(shí)變與泛函分析初步

江蘇教育學(xué)院編

江蘇省高等教育自學(xué)考試委員會(huì)辦公室

一 課程性質(zhì)及其設(shè)置目的與要求

（一）課程性質(zhì)與特點(diǎn)

實(shí)變函數(shù)論是19世紀(jì)末20世紀(jì)初形成的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它的基本內(nèi)容已成為分析數(shù)學(xué)各個(gè)分支的普遍基礎(chǔ).實(shí)變函數(shù)主要指自變量取實(shí)數(shù)值的函數(shù)，而實(shí)變函數(shù)論就是研究一般實(shí)變函數(shù)的理論，如果說(shuō)微積分所討論的函數(shù)都是性質(zhì)“良好”的函數(shù)，那么實(shí)變函數(shù)就是討論一般的函數(shù)，包括從微積分學(xué)來(lái)看性質(zhì)“不好”的函數(shù)，實(shí)變函數(shù)論是微積分深入與發(fā)展，函數(shù)的可積性是實(shí)變函數(shù)論中的主要內(nèi)容.  總之，實(shí)變函數(shù)論和古典數(shù)學(xué)分析不同，它是一種比較高深精細(xì)的理論，是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它的應(yīng)用廣泛，它在數(shù)學(xué)各個(gè)分支的應(yīng)用是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特征.

（二）教學(xué)目的與要求

課程內(nèi)容包括：本課程內(nèi)容包括集合及其運(yùn)算，對(duì)等與基數(shù)，可數(shù)集合，不可數(shù)集合；度量空間、n維歐氏空間，聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、界點(diǎn)，開(kāi)集、閉集、完備集，直線上開(kāi)集、閉集和完備集的構(gòu)造；外測(cè)度，可測(cè)集及其性質(zhì)；可測(cè)函數(shù)的定義及其性質(zhì)，葉果洛夫定理，可測(cè)函數(shù)構(gòu)造，依測(cè)度收斂；勒貝格積分（L積分）的定義及性質(zhì)，一般可積函數(shù)，積分的極限定理。

教學(xué)目的和要求：使學(xué)生掌握勒貝格測(cè)度與勒貝格積分的基礎(chǔ)理論，了解一般度量空間上的測(cè)度理論，培養(yǎng)學(xué)生的分析學(xué)知識(shí)，加深學(xué)生對(duì)微積分和函數(shù)的認(rèn)識(shí)。

二 課程內(nèi)容與考核目標(biāo)

第一章  集合

（一）課程內(nèi)容

集合的概念及運(yùn)算，對(duì)等與基數(shù)，可數(shù)集與不可數(shù)集。

（二）學(xué)習(xí)與考核要求

1、 掌握集合概念，掌握集合的交、并、余等運(yùn)算的定義和性質(zhì)（包括無(wú)窮多個(gè)集的運(yùn)算）.

2、 掌握集列的上極限與下極限集的概念及它們用集列的交和并所表示的式子，能夠正確寫(xiě)出具體集列的上、下極限集或極限.

3、 理解一一映照的概念，能夠正確寫(xiě)出兩個(gè)集之間的一一映照.

4、 掌握對(duì)等和基數(shù)的定義及性質(zhì)，掌握基數(shù)大小的定義.掌握證明集合對(duì)等的兩個(gè)定理（兩個(gè)不交集列對(duì)等定理和伯恩斯坦定理），能夠應(yīng)用它們來(lái)證明集合對(duì)等.

5、 掌握可數(shù)集的概念及可數(shù)基數(shù)a概念.掌握可數(shù)基數(shù)a 的最小性，掌握可數(shù)集運(yùn)算后的基數(shù)定理及各種可數(shù)集的實(shí)例.

6、 掌握實(shí)數(shù)集的不可數(shù)性及連續(xù)基數(shù)c，掌握各種具有連續(xù)基數(shù)的集.了解沒(méi)有最大基數(shù)的定理并能夠正確地證明之.

第二章  點(diǎn)集

（一）課程內(nèi)容

度量空間與n 維歐氏空間，外點(diǎn)、界點(diǎn)、聚點(diǎn)，開(kāi)集、閉集、完備集，直

上開(kāi)集、閉集、完備集的構(gòu)造, 康托爾三分集.

（二）學(xué)習(xí)與考核要求

1、 理解n 維歐氏空間的概念，掌握鄰域概念及鄰域的性質(zhì).掌握點(diǎn)列收斂的描述（用距離d及用鄰域u來(lái)描述），掌握兩集之距離等概念.

2、 掌握內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、界點(diǎn)、聚點(diǎn)、孤立點(diǎn)等概念（包括等價(jià)命題）.掌握開(kāi)核、邊界、導(dǎo)集、閉包等概念，能夠正確寫(xiě)出具體點(diǎn)集的開(kāi)核、邊界、導(dǎo)集及閉包.

3、 掌握開(kāi)集、閉集、自密集、完備集等概念（包括等價(jià)命題和關(guān)系式）并能夠?qū)唧w集合進(jìn)行判別.

4、 掌握開(kāi)閉集的對(duì)偶性定理及保持開(kāi)閉性的交并運(yùn)算定理.能夠應(yīng)用于判別具體實(shí)例.

5、 掌握直線上開(kāi)集、閉集、完備集的構(gòu)造.

6、 掌握康托點(diǎn)集的構(gòu)造及性質(zhì)（包括非空性、完備性、無(wú)處稠密性、無(wú)內(nèi)點(diǎn)、基數(shù)為c、測(cè)度為零等）.

第三章  測(cè)度論

（一）課程內(nèi)容

外測(cè)度，可測(cè)集，可測(cè)集類。

（二）學(xué)習(xí)與考核要求

1、 掌握勒貝格外測(cè)度的定義 （m* E）及其基本性質(zhì)（包括非負(fù)性，空集外測(cè)度規(guī)定、單調(diào)性和可次可加性等）.能夠根據(jù)勒貝格外測(cè)度的定義來(lái)證明性質(zhì)和驗(yàn)證零測(cè)度集.

2、 了解勒貝格內(nèi)測(cè)度（m* E）概念、勒貝格可測(cè)集的第一定義

（），理解對(duì)于區(qū)間I有及的結(jié)論.了解不可測(cè)集的存在性.

3、 掌握勒貝格可測(cè)集的第二定義：  對(duì)任意點(diǎn)集T:

成立.能夠用第二定義證明某些集的可測(cè)性.了解可測(cè)集的第一、第二、定義的等價(jià)性.

4、 掌握可測(cè)集的兩個(gè)充要條件定理.

5、 掌握兩可測(cè)集之并為可測(cè)集定理，可列個(gè)可測(cè)集之并為可測(cè)集定理，并能夠正確地證明它們.

6、 掌握兩可測(cè)集之交為可測(cè)集定理，可列個(gè)可測(cè)集之交為可測(cè)集定理.

7、 掌握遞增可測(cè)集列之極限可測(cè)定理及遞減可測(cè)集列之極限可測(cè)定理.并能夠正確證明它們,還要能夠用反例說(shuō)明后一個(gè)定理中的重要性.

8、 掌握波雷耳集,型集、型集等概念.能夠根據(jù)概念正確判別具體集合是型集,還是型集.

9、 掌握可測(cè)集與開(kāi)集及閉集的關(guān)系; 可測(cè)集與型集、型集的關(guān)系.

第四章  可測(cè)函數(shù)

（一）課程內(nèi)容

可測(cè)函數(shù)及性質(zhì)，葉果洛夫定理，可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造，依測(cè)度收斂。

（二）學(xué)習(xí)與考核要求

1、 掌握全體有限實(shí)數(shù)R上、下確界+∞、-∞的概念，掌握R∪{±∞}內(nèi)的四則運(yùn)算的意義及法則.

2、 掌握可測(cè)函數(shù)的定義及其等價(jià)性定理.

3、 掌握定義在任意點(diǎn)集E上連續(xù)函數(shù)的概念及連續(xù)函數(shù)可測(cè)性定理.掌握簡(jiǎn)單函數(shù)的概念及其可測(cè)性敘述.

4、 掌握可測(cè)函數(shù)的性質(zhì)（包括可測(cè)子集上的可測(cè)性，并集上的可測(cè)性，函數(shù)四則運(yùn)算及取絕對(duì)值的可測(cè)性，可測(cè)函數(shù)列的上、下確界函數(shù)的可測(cè)性、上、下極限函數(shù)可測(cè)性、極限函數(shù)可測(cè)性等）

5、掌握可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)關(guān)系定理.

6、掌握葉果洛夫定理的引理.

7、 掌握葉果洛夫定理和魯津定理，能夠?qū)?yīng)地寫(xiě)出與某些可測(cè)函數(shù)的“基本上”相等的連續(xù)函數(shù).

8、 掌握依測(cè)度收斂的概念，能夠用實(shí)例說(shuō)明依測(cè)度收斂與收斂概念的不同性.

9、 掌握黎斯定理及勒貝格測(cè)度收斂定理.掌握依測(cè)度收斂在幾乎處處意義下的唯一性定理.能夠應(yīng)用相關(guān)定理證明一些簡(jiǎn)單命題.

第五章  積分論

（一）課程內(nèi)容

黎曼積分的局限性，勒貝格積分定義及性質(zhì)，一般可積函數(shù)，積分極限定理，富比尼定理。

（二）學(xué)習(xí)與考核要求

1、 了解黎曼積分的局限性， 掌握有界函數(shù)（L）可積的兩個(gè)充分條件定理.

2、 掌握有界函數(shù)F(x)在`a.b`上（R）可積時(shí)（L）積分與（R）積分相等的定理并且能夠正確地證明之.

3、 掌握有界函數(shù)的（L）積分的性質(zhì)（包括和、差、積、商、取絕對(duì)值的可積性、可測(cè)子集上函數(shù)可積性、線性、不等號(hào)性質(zhì)、絕對(duì)值放大性質(zhì)，被積函數(shù)幾乎處處為零的充分條件及絕對(duì)連續(xù)性.）

4、 掌握一般非負(fù)函數(shù)（L）積分概念，一般函數(shù)（L）積分概念.掌握一般函數(shù)積分確定時(shí)或可積時(shí)的全部性質(zhì).能夠證明積分絕對(duì)連續(xù)性.

5、 掌握（L）可積函數(shù)是具有絕對(duì)可積性的結(jié)論，能夠用函數(shù)是否（R）絕對(duì)可積來(lái)判別其是否（L）可積的.

6、 掌握積分的極限定理（包括L-控制收斂定理和推論，列維定理，L-逐項(xiàng)積分定理，積分可數(shù)可加性定理，法都引理、積分號(hào)下求偏導(dǎo)定理）并能應(yīng)用這些定理證明題目.

7、 了解直積、截面和下方圖形等概念及性質(zhì)，了解富比尼定理.

三 有關(guān)說(shuō)明

（一）教材：

自學(xué)教材：程其襄等編《實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)》,高等教育出版社,2010年6月第3版。

（二）補(bǔ)充資料

自學(xué)和命題以考試大綱為主要依據(jù)，但考慮到本課程的定理證明較難，故對(duì)本課程參考課本中的主要定理證明不作要求，但定理結(jié)論的和定理結(jié)論本身的內(nèi)容必須掌握，并能利用定理來(lái)計(jì)算和判斷一些命題。故須補(bǔ)充一些定理應(yīng)用的例子和習(xí)題。具體內(nèi)容可以參考下列教材：

趙靜輝主編：《實(shí)變函數(shù)簡(jiǎn)明教程》，華中理工大學(xué)出版社，1996版。

煙臺(tái)師范學(xué)院等九院校編著：《實(shí)變函數(shù)論簡(jiǎn)明教程》，山東科學(xué)技術(shù)出版社，1985版。

（三）自學(xué)方法的指導(dǎo)

本課程作為一門(mén)專業(yè)課程，邏輯性強(qiáng)，自學(xué)者在自學(xué)過(guò)程中應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：

1、學(xué)習(xí)前，應(yīng)仔細(xì)閱讀課程大綱的第一部分，了解課程的性質(zhì)、地位和任務(wù)，熟悉課程的基本要求，使以后的學(xué)習(xí)緊緊圍繞課程的基本要求。

2、所配教材只是一個(gè)參考，自學(xué)中應(yīng)結(jié)合本課程大綱、補(bǔ)充習(xí)題、多做練習(xí)，熟練掌握基本概念，能利用基本概念定理計(jì)算判斷，從而切實(shí)提高自身的數(shù)學(xué)分析問(wèn)題能力和解決問(wèn)題能力。

（四）對(duì)社會(huì)助學(xué)的要求

1、應(yīng)熟知考試大綱對(duì)課程所提出的總的要求和各章的知識(shí)點(diǎn)。

2、對(duì)應(yīng)考者進(jìn)行輔導(dǎo)時(shí)，除了以指定的教材為基礎(chǔ)外，應(yīng)以考試大綱為依據(jù)，注意補(bǔ)充練習(xí)，注重提高學(xué)生應(yīng)用概念定理分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的發(fā)展。

（五）關(guān)于命題和考試的若干規(guī)定

1、本大綱各章所提到的考核要求中，各條細(xì)目都是考試的內(nèi)容，試題覆蓋到章，適當(dāng)突出重點(diǎn)章節(jié)，加大重點(diǎn)內(nèi)容的覆蓋密度。

2、試題難度結(jié)構(gòu)要合理，記憶、理解、綜合性試題比例大致為3：5：2。

3、本課程考試試卷可能采用的題型有：?jiǎn)雾?xiàng)選擇題、填空題、簡(jiǎn)答題、計(jì)算題、證明題等題型（見(jiàn)附件題型示例）。

4、考試方式為閉卷筆試，考試時(shí)間為150分鐘，評(píng)分采用百分制，60分為及格。