江蘇省高等教育自學(xué)考試大綱

02032　　高等數(shù)學(xué)（三）

江蘇教育學(xué)院編

江蘇省高等教育自學(xué)考試委員會(huì)辦公室

    一、課程性質(zhì)、目的
    本課程是為物理學(xué)專業(yè)學(xué)生開設(shè)的必修課。內(nèi)容涉及線性代數(shù)、矢量分析、場(chǎng)論、概率論的基本理論和方法，通過(guò)本課程的教學(xué)，應(yīng)達(dá)到如下目的和要求：
    1.系統(tǒng)地講授線性代數(shù)、矢量分析、場(chǎng)論、概率論的基本理論和方法，為學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)物理專業(yè)課程提供扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)
    2.重視講授內(nèi)容與相關(guān)物理問(wèn)題相結(jié)合，提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)分析實(shí)際物理問(wèn)題的能力
 

    二、考試內(nèi)容、要求

    第一部分 《矢量分析與場(chǎng)論》
    第一章 矢量分析
    一． 要求：
    1． 了解矢性函數(shù)的概念。
    2． 熟練掌握矢性函數(shù)的求導(dǎo)、不定積分、定積分的基本運(yùn)算規(guī)律。
    3． 理解導(dǎo)矢的幾何意義。
    二． 考試內(nèi)容
    1． 矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
    2． 矢性函數(shù)的不定積分。
    3． 矢性函數(shù)的定積分。

    第二章 場(chǎng)論
    一． 要求
    1． 理解數(shù)量場(chǎng)的等值面概念，掌握求等值面方程的方法。
    2． 理解矢量場(chǎng)的矢量線概念，掌握求矢量線方程的方法。
    3． 理解方向?qū)?shù)的概念。
    4． 理解梯度的概念，熟悉梯度的性質(zhì)及基本公式。
    5． 理解通量的概念，會(huì)求通量。
    6． 理解散度的概念，熟練掌握散度運(yùn)算的基本公式。
    7． 理解環(huán)量的概念，會(huì)求環(huán)量。
    8． 理解環(huán)量面密度的概念。
    9． 理解旋度的概念，熟悉旋度與環(huán)量面密度之間的關(guān)系，掌握旋度運(yùn)算的基本公式。
    10. 熟悉有勢(shì)場(chǎng)的性質(zhì)，掌握求勢(shì)函數(shù)的方法。
    11. 熟悉管形場(chǎng)的性質(zhì)，了解求矢勢(shì)量的方法。
    12. 熟悉調(diào)和場(chǎng)的性質(zhì)。
    二． 考試內(nèi)容
    1． 等值面方程、矢量線方程。
    2． 方向?qū)?shù)與梯度。
    3． 通量與散度。
    4． 環(huán)量、環(huán)量面密度與旋度。
    5． 有勢(shì)場(chǎng)、管形場(chǎng)、調(diào)和場(chǎng)。
    第三章 哈米爾頓算子
    一、 要求
    1 熟悉▽算子的性質(zhì)（①算符性；②矢量性）
    2 會(huì)用▽算子表示梯度、散度、旋度、調(diào)和量。
    3 會(huì)利用▽算子導(dǎo)出公式。
    二． 考試內(nèi)容
    1． 利用▽算子導(dǎo)出公式

    第四章 梯度、散度、旋度與調(diào)和量在正交曲線坐標(biāo)系中的表達(dá)式

    一、 要求
    1 知道什么是正交曲線坐標(biāo)系。
    2 知道拉梅系數(shù)的表達(dá)式。
    3 知道在正交曲線坐標(biāo)系中弧微分、面積元素、體積元素的表示式。
    4 熟悉球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系中的拉梅系數(shù)。
    5  知道球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系中梯度、散度、旋度、調(diào)和量的表示式。
    二． 考試內(nèi)容
    1． 球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系中弧微分、面積元素、體積元素的表示式。
    2． 球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系中梯度、散度、旋度、調(diào)和量的表示式。

    第二部分 《線性代數(shù)》
    第一章 行列式
    一． 要求
    1． 知道全排列的奇偶性及逆序數(shù)的定義。
    2． 了解n階行列式的定義。
    3． 能熟練運(yùn)用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式。
    4． 了解代數(shù)余子式概念，并能熟練按行（列）展開行列式。
    5． 熟悉克萊姆法則，并能熟練運(yùn)用。
    二． 考試內(nèi)容
    1． 求排列的逆序數(shù)，判斷排列的奇偶性。
    2． n階行列式的運(yùn)算（包括行列式計(jì)算、化簡(jiǎn)、降階）。
    3． 運(yùn)用克萊姆法則解線性方程組。

    第二章 矩陣及其運(yùn)算
    一． 要求
    1． 熟悉線性變換與矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系。
    2． 熟練掌握矩陣運(yùn)算（加法、數(shù)乘、矩陣相乘、轉(zhuǎn)置、取共軛）的基本性質(zhì)。
    3． 熟悉逆矩陣的概念，逆矩陣存在的充要條件，能利用公式求方陣的逆矩陣。
    4． 知道矩陣分塊法，掌握分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則。
    二． 考試內(nèi)容
    1． 矩陣運(yùn)算（加法、數(shù)乘、矩陣相乘、轉(zhuǎn)置、取共軛、分塊矩陣運(yùn)算）
    2． 求逆陣。
    3． 利用矩陣運(yùn)算求線性變換，解線性方程組。

    第三章 矩陣的初等變換與線性方程組
    一． 要求

    1 理解初等變換的概念
    2 理解兩矩陣等價(jià)的概念。
    3 理解初等方陣的概念
    4 了解初等變換與初等方陣的關(guān)系。
    5 理解矩陣的秩的概念，知道等價(jià)矩陣的秩相等
    6 掌握利用初等變換求逆陣的方法。
    7 熟悉齊次線性方程組有非零解的充要條件。
    8 熟悉非齊次線性方程組有解的充要條件。
    9 掌握利用初等變換求解線性方程組的方法。

    二． 考試內(nèi)容
    1  矩陣的秩
    2 利用初等變換求逆陣。
    3 利用初等變換求解線性方程組

    第四章 向量組的線性相關(guān)性
    一． 要求
    1． 理解n維向量的概念。
    2． 理解向量組的線性相關(guān)性的概念。
    3． 知道如何判斷向量組的線性相關(guān)性。
    4． 理解兩向量組等價(jià)的概念,了解兩者的聯(lián)系。
    5． 理解向量組的秩的概念
    6． 掌握求向量組的最大無(wú)關(guān)組的方法。
    7 了解什么是向量空間、向量空間的維數(shù)、向量空間的基
    8 理解齊次線性方程組的解空間的概念。
    9 熟悉齊次線性方程組通解的結(jié)構(gòu)。
    10 熟悉非齊次線性方程組通解的結(jié)構(gòu)。

    二． 考試內(nèi)容
    1． 判斷向量組的線性相關(guān)性。
    2． 向量組的秩。
    3  求向量組最大無(wú)關(guān)組
    4． 解齊次線性方程組。
    5． 解非齊次線性方程組。

    第五章 相似矩陣及二次型
    一． 要求
    1． 了解向量?jī)?nèi)積的概念，掌握內(nèi)積的運(yùn)算規(guī)律。
    2． 了解正交向量組的線性相關(guān)性。
    3． 知道如何將線性無(wú)關(guān)向量組正交規(guī)范化。
    4． 熟悉正交矩陣的性質(zhì)，正交變換的特點(diǎn)。
    5． 熟悉方陣的特征值、特征向量、掌握求特征值、特征向量的方法。
    6． 知道不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是線性無(wú)關(guān)的。
    7． 知道方陣與它的相似矩陣具有相同的特征值。
    8． 知道方陣能對(duì)角化的充要條件。
    9． 了解實(shí)對(duì)稱方陣的性質(zhì)。
    10 知道什么是二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，二次型總能化成標(biāo)準(zhǔn)形。
    二． 考試內(nèi)容
    1． 向量的內(nèi)積。
    2． 將線性無(wú)關(guān)向量組正交規(guī)范化。
    3． 正交陣和正交變換。
    4． 方陣的特征值、特征向量。
    5． 實(shí)對(duì)稱方陣的對(duì)角化。

    第三部分 《概率論》
    第一章 預(yù)備知識(shí)
    一． 要求
    1． 熟練掌握求排列、組合種數(shù)的公式。
    2． 了解集合的概念。
    3． 了解集合之間的關(guān)系，集合的運(yùn)算。
    4． 知道集合中各種符號(hào)的含義。
    二． 考試內(nèi)容
    1． 排列、組合問(wèn)題的應(yīng)用題。
    2． 集合之間的關(guān)系，集合的運(yùn)算。

    第二章 隨機(jī)事件
    一． 要求
    1． 理解隨機(jī)事件的概念。
    2． 了解事件間的關(guān)系及運(yùn)算。
    3． 理解基本空間的概念。
    二． 考試內(nèi)容
    1． 事件間的關(guān)系及運(yùn)算。

    第三章 隨機(jī)事件的概率
    一． 要求
    1． 熟悉古典概型事件的特征。
    2． 熟悉概率的古典定義。
    3． 了解幾何概率的定義。
    4． 能熟練求出古典概型事件的概率，會(huì)求事件的幾何概率。
    5． 了解有關(guān)概率的三條公理，了解概率的一般定義。
    6． 熟悉概率的基本性質(zhì)。
    二． 考試內(nèi)容
    1． 求事件的概率。

    第四章 條件概率、事件的相互獨(dú)立性及試驗(yàn)的相互獨(dú)立性
    一． 要求
    1． 理解條件概率的概念。
    2． 熟悉概率的乘法定理。
    3． 能熟練運(yùn)用全概率公式。
    4． 理解事件相互獨(dú)立的含義。
    5． 會(huì)用乘法定理判斷兩事件是否相互獨(dú)立。
    6． 能熟練運(yùn)用乘法定理計(jì)算相互獨(dú)立事件的積事件的概率。
    7． 熟悉重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，熟練掌握二項(xiàng)概率公式。
    二． 考試內(nèi)容
    1． 運(yùn)用全概率公式求概率。
    2． 求相互獨(dú)立事件的積事件的概率。
    3． 求重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中某試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的概率。

    第五章 一維隨機(jī)變量
    一． 要求
    1． 理解隨機(jī)變量的概念。
    2． 熟悉一維隨機(jī)變量分布函數(shù)的基本性質(zhì)。
    3． 了解離散型隨機(jī)變量的分布密度，掌握由分布密度求事件概率的一般方法。
    4． 熟悉二項(xiàng)分布，能判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，并能求出其分布密度。
    5． 熟悉泊松分布，能判斷隨機(jī)變量是否服從泊松分布，并能求出其分布密度。
    6． 知道二項(xiàng)式分布與泊松分布之間的聯(lián)系。
    7． 了解連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度，掌握由分布密度求事件概率的一般方法。
    8． 熟悉正態(tài)分布及正態(tài)分布密度函數(shù)的形式和基本性質(zhì)。
    9． 熟悉正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系。能熟練求出服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在某一區(qū)間上取值的概率。
    二． 考試內(nèi)容
    1． 求離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)、分布密度。
    2． 求離散型隨機(jī)變量在某區(qū)間上取值的概率。
    3． 求服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在某區(qū)間上取值的概率。

    第六章 二維隨機(jī)變量
    一． 要求
    1． 了解什么是二維隨機(jī)變量。
    2． 了解二維分布密度（包括連續(xù)型和離散性）的基本性質(zhì)。
    3． 熟悉二維正態(tài)分布。
    4． 了解什么是二維隨機(jī)變量的邊緣分布。掌握求隨機(jī)變量（包括離散型和連續(xù)型）的邊緣分布密度的方法。
    5． 知道隨機(jī)變量相互獨(dú)立的含義。知道隨機(jī)變量（離散型、連續(xù)型）是否相互獨(dú)立的條件。

    二． 考試內(nèi)容
    1． 求隨機(jī)變量（包括離散型、連續(xù)型）的邊緣分布密度。
    2． 求離散型隨機(jī)變量的分布密度。
    3． 隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性。

    第七章 隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布
    一． 要求
    掌握求一維隨機(jī)變量函數(shù)，二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布密度的方法。
    二． 考試內(nèi)容
    1． 求隨機(jī)變量函數(shù)的分布密度。

    第八章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征
    一． 要求
    1． 知道隨機(jī)變量數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差）的作用。
    2． 會(huì)求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差。熟悉它們的基本性質(zhì)。
    3． 熟悉正態(tài)分布和泊松分布的數(shù)學(xué)期望、方差。
    二． 考試內(nèi)容
    1． 求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。
    2． 求隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差。
    
    說(shuō)  明
    考試成績(jī)每部分各占三分之一。
    選用教材意見
    1．《工程數(shù)學(xué)：矢量分析與場(chǎng)論》，謝樹藝編，高等教育出版社出版（1985年3月第二版）
    2．《工程數(shù)學(xué)：線性代數(shù)》，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編，高等教育出版社出版（2003年7月第四版）
    3．《工程數(shù)學(xué)：概率論》，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編，高等教育出版社出版（1982年10月第一版）