一、課程性質(zhì)及其設(shè)置目的與要求

    （—）課程性質(zhì)及其設(shè)置目的

    常微分方程是江蘇省高等教育自學(xué)考試數(shù)學(xué)教育專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要的基礎(chǔ)理論課程，它具有非常重要的應(yīng)用價(jià)值，它的設(shè)置目的是：
    1、使應(yīng)考者系統(tǒng)地獲得常微分方程中最基本的知識(shí)和必要的基礎(chǔ)理論，能比較熟練的掌握基本的運(yùn)算技能，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)其它有關(guān)課程提供必要的數(shù)學(xué)工具。
    2、為應(yīng)考者今后應(yīng)用數(shù)學(xué)（如數(shù)學(xué)建模等）解決實(shí)際問(wèn)題提供必要訓(xùn)練和準(zhǔn)備。通過(guò)學(xué)習(xí)，使應(yīng)考者能掌握一階微分方程的初等積分法，能求解常系數(shù)高階線性微分方程、常系數(shù)線性微分方程組。
    3、通過(guò)學(xué)習(xí)，使應(yīng)考者受到數(shù)學(xué)思想方法，尤其是數(shù)學(xué)化歸思想的教育。

    （二）本課程的基本要求

    本課程共分六章。通過(guò)學(xué)習(xí)，使應(yīng)考者能了解常微分方程中最基本的知識(shí)和應(yīng)用價(jià)值，以及有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法，理解必要的常微分方程基礎(chǔ)理論，重點(diǎn)掌握一階微分方程的初等積分法和求解常系數(shù)高階線性微分方程以及常系數(shù)線性微分方程組。

    （三）本課程與相關(guān)課程的聯(lián)系

    常微分方程應(yīng)是數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)的后繼課程。
   
    二、課程內(nèi)容與考核目標(biāo)

    第一章  初等積分法

    （一）課程內(nèi)容 

                           
    1、微分方程和解
    2、變量可分離方程
    3、線性方程與常數(shù)變易法 
    4、全微分方程與積分因子
    5、一階隱式方程
    6、幾種可降階的高階方程
    7、一階微分方程的應(yīng)用舉例

    （二）學(xué)習(xí)要求

    熟練掌握變量分離方程、齊次方程、線性方程、伯努利方程和全微分方程以及幾種可降階高階方程的的解法，會(huì)求一些簡(jiǎn)單的積分因子，了解一階隱式方程的求解方法，具有應(yīng)用變量變換求解微分方程的能力，能應(yīng)用微分方程分析和解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。

    （三）考核知識(shí)點(diǎn)和考核要求

    1、領(lǐng)會(huì)：微分方程概念
    2、掌握：一階微分方程的一般解法和各類(lèi)型方程的轉(zhuǎn)化關(guān)系，以及一階微分方程的應(yīng)用
    3、熟練掌握：變量可分離方程的解法，線性方程和伯努利方程的解法，全微分方程的解法，幾種可降階的高階方程的解法，一階微分方程的簡(jiǎn)單幾何應(yīng)用
                    
    第二章  基本定理

    （一）課程內(nèi)容  

                           
    1、常微分方程的解的幾何解釋
    2、存在唯一性定理與逐步逼近法
    3、解的延拓
    4、奇解

    （二）學(xué)習(xí)要求

    了解常微分方程的解的幾何解釋?zhuān)莆樟私庖浑A微分方程解的存在唯一性定理的條件和結(jié)論以及利普希茨條件的檢驗(yàn)方法。了解解的存在唯一性定理的全部證明過(guò)程和證明中所用方法的原因。掌握利用Picard逐步逼近法求所給方程的近似解。

    （三）考核知識(shí)點(diǎn)和考核要求

    1、領(lǐng)會(huì)：常微分方程的解的幾何解釋?zhuān)獾拇嬖谖ㄒ恍远ɡ淼娜孔C明過(guò)程和證明中所用方法
    2、掌握：掌握了解一階微分方程解的存在唯一性定理的條件和結(jié)論以及利普希茨條件的檢驗(yàn)方法，掌握利用Picard逐步逼近法求所給方程的近似解。
   
    第三章  一階線性微分方程組

    （一）課程內(nèi)容

    1、一階微分方程組和一階線性微分方程組的基本概念
    2、一階線性齊次微分方程組的一般理論
    3、一階線性非齊次微分方程組的一般理論
    4、常系數(shù)線性微分方程組的解法

    （二）學(xué)習(xí)要求

    了解線性微分方程組的一般理論，, 了解應(yīng)用常數(shù)變易公式求線性非齊次微分方程組的特解的方法，重點(diǎn)掌握常系數(shù)線性微分方程組的求解方法。

    （三）考核知識(shí)點(diǎn)和考核要求

    1、領(lǐng)會(huì)：一階微分方程組和一階線性微分方程組的基本概念， 一階線性齊次微分方程組的一般理論和一階線性非齊次微分方程組的一般理論
    2、掌握：常系數(shù)線性微分方程組的求解方法。
    3、熟練掌握：常系數(shù)線性齊次微分方程組的解法
   
    第四章  n階線性微分方程

    （一）課程內(nèi)容 

                                    
    1、n階線性微分方程的一般理論
    2、n階常系數(shù)線性齊次方程的解法
    3、n階常系數(shù)線性非齊次方程解的解法

    （二）學(xué)習(xí)要求

    了解n階線性方程的解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)和利用常數(shù)變易法求 n階線性方程的特解的一般理論。
    熟練掌握n階常系數(shù)線性方程的解法和利用待定系數(shù)法求兩種類(lèi)型n階非齊次線性方程的特解。

    （三）考核知識(shí)點(diǎn)和考核要求

    1、領(lǐng)會(huì)：n階線性方程的解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)和利用常數(shù)變易法求 n階線性方程的特解的一般理論。
    2、掌握：n階線性方程的解的結(jié)構(gòu)
    3、熟練掌握：n階常系數(shù)線性方程的解法和n階常系數(shù)線性非齊次方程解的解法。
   
    第五章  定性與穩(wěn)定性理論簡(jiǎn)介

    （一）課程內(nèi)容

    1、穩(wěn)定性概念
    2、李雅普諾夫第二方法
    3、平面自治系統(tǒng)的基本概念
    4、平面定性理論簡(jiǎn)介

    （二）學(xué)習(xí)要求

    了解相平面及其有關(guān)的定義和概念、掌握各種類(lèi)型的初等奇點(diǎn)及其相應(yīng)的穩(wěn)定性態(tài)。能利用李雅普諾夫第二方法判斷零解的穩(wěn)定性。了解平面系統(tǒng)極限環(huán)的有關(guān)概念，會(huì)求簡(jiǎn)單方程組的極限環(huán)和穩(wěn)定性。

    （三）考核知識(shí)點(diǎn)和考核要求

    1、領(lǐng)會(huì)：穩(wěn)定性概念和平面自治系統(tǒng)的基本概念，李雅普諾夫第二方法。
    2、掌握：初等奇點(diǎn)和極限環(huán)的有關(guān)概念。
    3、熟練掌握：各種類(lèi)型的初等奇點(diǎn)及其相應(yīng)的穩(wěn)定性態(tài)的確定，確定簡(jiǎn)單方程組的極限環(huán)和穩(wěn)定性方法
   
    第六章  一階線性偏微分方程初步

    （一）課程內(nèi)容

    1、基本概念
    2、一階常微分方程組的首次積分
    3、一階線性齊次偏微分方程

    （二）學(xué)習(xí)要求

    了解一階偏微分方程的基本概念、一階線性偏微分方程與常微分方程組的關(guān)系以及常微分方程組首次積分的概念。能夠利用首次積分求解常微分方程組. 了解一階偏微分方程的解法。

    （三）考核知識(shí)點(diǎn)和考核要求

    1、領(lǐng)會(huì)：一階偏微分方程的基本概念和一階偏微分方程的解法。
    2、掌握：首次積分的概念
    3、熟練掌握：用首次積分求解常微分方程組
   
    三、有關(guān)說(shuō)明和實(shí)施要求

    （一）關(guān)于“課程內(nèi)容與考核目標(biāo)”中的有關(guān)說(shuō)明

    在大綱的考核要求中，提出了“領(lǐng)會(huì)”、“掌握”“熟練掌握”等三個(gè)能力層次的要求，它們的含義是：
    1、領(lǐng)會(huì)：要求應(yīng)考者能夠記憶規(guī)定的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)的主要內(nèi)容，并能夠理解規(guī)定的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)涵與外延，熟悉其內(nèi)容要點(diǎn)和它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，并能根據(jù)考核的不同要求，作出正確的解釋、說(shuō)明和闡述。
    2、掌握：要求應(yīng)考者掌握有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，正確和記憶相關(guān)內(nèi)容的原理、方法步驟等。
    3、重點(diǎn)掌握：要求應(yīng)考者必須掌握的核心內(nèi)容和重要知識(shí)點(diǎn)。

    （二）自學(xué)教材

    本課程使用教材為：《常微分方程》，東北師范大學(xué)微分方程教研室主編，高等教育出版社，2005年。

    （三）自學(xué)方法的指導(dǎo)

    本課程作為一門(mén)的專(zhuān)業(yè)課程，綜合性強(qiáng)、內(nèi)容多、難度大，自學(xué)者在自學(xué)過(guò)程中應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：
    1、學(xué)習(xí)前，應(yīng)仔細(xì)閱讀課程大綱，熟悉課程的基本要求，使以后的學(xué)習(xí)緊緊圍繞課程的基本要求。
    2、在閱讀某一章教材內(nèi)容前，應(yīng)先認(rèn)真閱讀大綱中該章的考核知識(shí)點(diǎn)、自學(xué)要求和考核要求，注意對(duì)各知識(shí)點(diǎn)的能力層次要求，以便在閱讀教材時(shí)做到心中有數(shù)。
    3、認(rèn)真學(xué)習(xí)各章節(jié)例題，熟悉各種類(lèi)型習(xí)題解法。
    4、學(xué)完教材的每一章節(jié)內(nèi)容后，應(yīng)完成教材的習(xí)題，進(jìn)一步理解和鞏固所學(xué)的知識(shí)，增強(qiáng)解題能力。

    （四）對(duì)社會(huì)助學(xué)的要求

    1、應(yīng)熟知考試大綱對(duì)課程所提出的總的要求和各章的知識(shí)點(diǎn)。
    2、應(yīng)掌握各知識(shí)點(diǎn)要求達(dá)到的層次，并深刻理解各知識(shí)點(diǎn)的考核要求。
    3、對(duì)應(yīng)考者進(jìn)行輔導(dǎo)時(shí)，應(yīng)以指定的教材為基礎(chǔ)，以考試大綱為依據(jù)，不要隨意增刪內(nèi)容，避免與考試大綱脫節(jié)。
    4、輔導(dǎo)時(shí)應(yīng)對(duì)應(yīng)考者進(jìn)行學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)。
    5、輔導(dǎo)時(shí)要注意基礎(chǔ)、突出重點(diǎn)，注意幫助學(xué)生歸納對(duì)各類(lèi)型方程的解法。

    （五）關(guān)于命題和考試的若干規(guī)定

    1、本大綱所提到的考核要求中，各條細(xì)目都是考試的內(nèi)容，試題覆蓋到章，適當(dāng)突出重點(diǎn)章節(jié)，加大重點(diǎn)內(nèi)容的覆蓋密度。
    2、試卷對(duì)不同能力層次要求的試題所占的比例大致是：“領(lǐng)會(huì)”10 ，“掌握”20 ，“熟練掌握”為70 。
    3、試題難易程度要合理，可分為四檔：易、較易、較難、難，這四檔在各份試卷中所占的比例約為2 ：3 ：3 ：2。
    4、本課程考試試卷可能采用的題型有：?jiǎn)雾?xiàng)選擇題、填空題等類(lèi)型。
    5、考試方式為閉卷筆試，考試時(shí)間為150分鐘。評(píng)分采用百分制，60分為及格。
                                             
附錄  題型舉例