高綱0926

江蘇省高等教育自學(xué)考試大綱

02009　抽象代數(shù)

江蘇教育學(xué)院編

江蘇省高等教育自學(xué)考試委員會(huì)辦公室

一、 課程性質(zhì)、目的和要求

抽象代數(shù)即近世代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，是研究多種代數(shù)結(jié)構(gòu)的一門學(xué)科。它是現(xiàn)代科學(xué)各個(gè)分支的基礎(chǔ)，而且隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，特別是計(jì)算機(jī)的發(fā)展與推廣，近世代數(shù)的思想、理論與方法的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。它的思想方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的多個(gè)分支，它的結(jié)果已應(yīng)用到眾多學(xué)科領(lǐng)域，它的內(nèi)容對(duì)中學(xué)代數(shù)教學(xué)有指導(dǎo)意義。本課程是師范院校數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的必修課，也是教師本科自考的必考課程。近世代數(shù)的內(nèi)容豐富，在本科階段不可能全部掌握，根據(jù)所選教材，要求考生在學(xué)習(xí)本課程中，掌握近世代數(shù)的基本概念、基本理論和方法，使學(xué)生拓寬眼界，擴(kuò)大知識(shí)領(lǐng)域，提高抽象思維能力和邏輯推理能力，提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)與技巧，以便能深入理解中學(xué)代數(shù)的內(nèi)容和方法，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)其它學(xué)科創(chuàng)造條件。

課程內(nèi)容包括：基本概念；群；環(huán)；整環(huán)里的因子分解。

二、  課程內(nèi)容與考核要求

第一章   基本概念 

本章中介紹的一些基本概念是數(shù)學(xué)各個(gè)分支的基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)本課程各個(gè)代數(shù)體系的必備知識(shí)。其主要內(nèi)容有

1．集合的概念與運(yùn)算

2．映射的定義與幾種特殊映射的性質(zhì)

3．卡氏積與代數(shù)運(yùn)算

4．等價(jià)關(guān)系與集合的分類

考試要求：                                        

掌握集合的概念與運(yùn)算，掌握集合的交、并、集合的冪集的定義及表示，熟練掌握習(xí)題7、8的結(jié)論；了解映射的定義與幾種特殊映射的性質(zhì)，掌握映射的合成，熟練掌握定理1.6及習(xí)題2、6的結(jié)論；掌握代數(shù)運(yùn)算的定義與判定方法, 熟練掌握習(xí)題2；掌握等價(jià)關(guān)系與集合的分類的定義及相關(guān)性質(zhì)，能夠由等價(jià)關(guān)系得出集合分類，并能正確給出商集，熟練掌握習(xí)題5、6。

第二章    群    

  群是具有一種代數(shù)運(yùn)算的代數(shù)體系，即具有一個(gè)代數(shù)運(yùn)算的集合，它是近世代數(shù)中比較古老且內(nèi)容豐富的重要分支。其主要內(nèi)容有                              

1．半群的定義及性質(zhì)

2．群的定義及等價(jià)條件

3．元素階的定義及性質(zhì)

4．循環(huán)群的定義及結(jié)構(gòu)

5．子群及判定條件

6．變換群

7．群的同態(tài)與同構(gòu)、Cayley定理

8．子群的陪集、Lagrange定理

9．正規(guī)子群與商群、正規(guī)子群的等價(jià)條件

10．同態(tài)基本定理與同構(gòu)定理

考試要求：

掌握半群的定義及定理2.1、定理2.2、定理2.3、定理2.4的結(jié)論；掌握群的定義及性質(zhì)，如定理2.5、定理2.6及推論； 熟練掌握群的一些重要例子，如例1、例3、例4、例7，熟練掌握習(xí)題2、3、6、9；掌握元素階的定義及相關(guān)重要性質(zhì)，如定理2.8、定理2.9、定理2.10，熟練掌握例1、例2；熟練掌握循環(huán)群的定義、構(gòu)造及性質(zhì)，如定理2.11、定理2.12、定理2.13及推論1、推論2, 熟練掌握例5、例6及習(xí)題2、3、5、8、9；熟練掌握子群的定義及性質(zhì)，如定理2.14、定理2.16、定理2.21及例3、例5、習(xí)題2、4、5； 掌握變換群的概念及有關(guān)結(jié)論，熟練掌握次對(duì)稱群、循環(huán)置換的概念及性質(zhì)，特別是3次、4次對(duì)稱群元素的表示、運(yùn)算及性質(zhì)，如定理2.23、定理2.24、定理2.25、定理2.27、例4及習(xí)題4；掌握群的同態(tài)、同構(gòu)的定義、性質(zhì)以及Cayley定理及定理2.28、定理2.30，會(huì)求同態(tài)象與同態(tài)核，掌握習(xí)題1、2；掌握子群陪集的概念及性質(zhì)，熟練掌握Lagrange定理及及其推論1、推論2、例5、例6，熟練掌握習(xí)題2、3、 4、5；掌握正規(guī)子群的定義及等價(jià)命題定理2.40, 能夠正確判定子群與正規(guī)子群, 掌握例1、例2、例4、例6、例7的結(jié)論及習(xí)題2、3、6，正確掌握商群的概念及性質(zhì)（推論）；掌握并正確使用同態(tài)基本定理，熟練掌握復(fù)習(xí)題二中的第2、4題。

第三章  環(huán)                                     

環(huán)是具有兩中代數(shù)運(yùn)算的代數(shù)體系，它也是近世代數(shù)中的一個(gè)重要分支。其主要內(nèi)容有

1. 環(huán)的定義；整環(huán)、除環(huán)、域的定義及性質(zhì)

2. 子環(huán)及判定條件

3. 環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)

4. 理想與商環(huán)

5. 素理想與極大理想

6. 商域

7. 多項(xiàng)式環(huán)

8. 擴(kuò)域

9. 有限域

考試要求: 

熟練掌握環(huán)、整環(huán)、除環(huán)、域的概念及相關(guān)命題：定理3.1及推論、定理3.2、定理3.3、定理3.4及推論。熟練掌握幾個(gè)重要環(huán)的例子，如例1、例2、例3、例5、例7、例9、例10，掌握環(huán)的單位元、零因子的定義及性質(zhì)，熟練掌握習(xí)題5、9、10、11；掌握子環(huán)、子域的概念以及判定定理3.5、定理3.6，掌握例1、例4、例6， 需要注意：子環(huán)與環(huán)在是否可交換、有無(wú)零因子、有無(wú)單位元等性質(zhì)上有一定的聯(lián)系，但是并不一定一致；掌握環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)的定義及相關(guān)性質(zhì)（定理3.10、定理3.11），會(huì)求同態(tài)象與同態(tài)核，需要注意：當(dāng)與滿同態(tài)時(shí)，與在是否可交換、有無(wú)零因子、有無(wú)單位元等性質(zhì)上有一定的聯(lián)系，但是并不完全一致；熟練掌握習(xí)題2、3；掌握理想與商環(huán)的概念及相關(guān)命題（定理3.14、定理3.17及推論、定理3.18）； 熟練掌握主理想的構(gòu)造（推論1），熟練掌握例2、例5、例6、例7、例8及習(xí)題1、2、4、7；正確應(yīng)用同態(tài)基本定理及同構(gòu)定理; 掌握素理想與極大理想的定義、判定方法及相關(guān)命題（定理3.22、定理3.23及推論），熟練掌握例1、例2、例3、例4、例5及習(xí)題1、2、3；了解商域及多項(xiàng)式環(huán)的構(gòu)造；了解域的研究方法，掌握代數(shù)元的極小多項(xiàng)式的性質(zhì)及求法，掌握有限擴(kuò)域的概念及定理3.35。

第四章  整環(huán)里的因子分解

在整數(shù)環(huán)中，每個(gè)不等于的非零整數(shù)都能分解成有限個(gè)素?cái)?shù)的乘積，而且除了因數(shù)次序和的因數(shù)差別外，分解是惟一的。同樣，在數(shù)域上的一元多項(xiàng)式環(huán)中，每個(gè)次數(shù)的多項(xiàng)式都能分解成有限個(gè)不可約多項(xiàng)式的乘積，而且除了因子次序和零次因式的差別外，分解是惟一的。在這一章里，我們將對(duì)一般的整環(huán)討論元素分解的理論，給出整環(huán)中因子分解惟一性定理成立的一些條件，并介紹幾種惟一分解定理成立的整環(huán)。其主要內(nèi)容有

1. 不可約元、素元、最大公因子

2. 惟一分解環(huán)

3. 主理想環(huán)

4. 歐氏環(huán)

5. 惟一分解環(huán)上的一元多項(xiàng)式環(huán)

6. 因子分解與多項(xiàng)式的根

考試要求: 

掌握整環(huán)中的單位、相伴、真因子、不可約元、素元、最大公因子的概念及其性質(zhì)，熟練掌握例1、例2及習(xí)題2、3、4；掌握惟一分解元、惟一分解環(huán)的定義及其性質(zhì)，熟練掌握例1及習(xí)題1；熟練掌握主理想環(huán)的概念及主理想環(huán)的例子，如：整數(shù)環(huán)、域上的一元多項(xiàng)式環(huán)，知道整數(shù)環(huán)上的一元多項(xiàng)式環(huán)不是主理想環(huán)，掌握定理4.14、定理4.15、定理4.16及其習(xí)題4、5；熟練掌握歐氏環(huán)的定義及歐氏環(huán)的例子，如：整數(shù)環(huán)、高斯(Gauss)整數(shù)環(huán)、域、域上的一元多項(xiàng)式環(huán)，掌握定理4.17、定理4.18；掌握惟一分解環(huán)上的一元多項(xiàng)式環(huán)也是惟一分解環(huán)；了解因式分解與多項(xiàng)式的根的概念及其性質(zhì)，掌握例子及習(xí)題1、2、3。

三、  有關(guān)說(shuō)明

（一）教材：

自學(xué)教材：1、《近世代數(shù)》，朱平天主編，科學(xué)出版社，2001年版；2、《抽象代數(shù)基礎(chǔ)》，李克正主編，清華大學(xué)出版社，2007年。

教材1可作為應(yīng)考者復(fù)習(xí)應(yīng)考的主要參考教材，教材2可作為應(yīng)考者補(bǔ)充和提高抽象代數(shù)知識(shí)的主要參考。本課程考試命題以大綱為依據(jù)。

其他參考書(shū)目：

《近世代數(shù)基礎(chǔ)》，張禾瑞編，人民教育出版社, 1984年版。

（二）自學(xué)方法的指導(dǎo)

本課程作為一門專業(yè)課程，內(nèi)容抽象，綜合性強(qiáng)，自學(xué)者在自學(xué)過(guò)程中應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：

1．本課程在學(xué)生具備初等代數(shù)、高等代數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)地學(xué)習(xí)群、環(huán)、域的基礎(chǔ)知識(shí)。因此，自學(xué)前，要注意知識(shí)的積累與銜接。應(yīng)仔細(xì)閱讀課程考試大綱，了解課程的性質(zhì)、地位和要求，熟悉掌握課程的基本內(nèi)容，使以后的學(xué)習(xí)緊緊圍繞課程的基本要求。

2．所配教材是自學(xué)的主要依據(jù)，自學(xué)時(shí)應(yīng)結(jié)合教材及課程考試大綱和參考書(shū)目，熟練掌握基本概念和方法的同時(shí)，能結(jié)合具體例子進(jìn)行練習(xí)和運(yùn)用，以達(dá)到本課程的要求。

（三）對(duì)社會(huì)助學(xué)的要求

1．應(yīng)熟知考試大綱對(duì)課程所提出的總的要求和各章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)。

2．對(duì)考生進(jìn)行輔導(dǎo)時(shí)，主要以指定的教材為主，同時(shí)以考試大綱為依據(jù)，關(guān)注補(bǔ)充參考書(shū)目，注重提高學(xué)生的抽象思維能力和邏輯推理能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)修養(yǎng)與技巧，提高解決問(wèn)題的能力。

（四）關(guān)于命題和考試的若干規(guī)定

1．本大綱各章節(jié)所提到的考核要求中，各條細(xì)目都是考試的內(nèi)容，試題覆蓋到各章節(jié)，適當(dāng)突出重點(diǎn)章節(jié)，加大重點(diǎn)內(nèi)容的覆蓋密度。

2．試題難度結(jié)構(gòu)合理，記憶、理解、綜合性試題比例大致為4：4：2。

3．本課程考試試卷可能采用的題型有：填空題、判斷改錯(cuò)題、計(jì)算簡(jiǎn)答題、證明題（見(jiàn)附件題型示例）。

4．考試方式為閉卷筆試，考試時(shí)間為150分鐘，評(píng)分采用百分制，60分為及格。