高綱0870

江蘇省高等教育自學(xué)考試大綱

29790　　高等幾何

江蘇教育學(xué)院編

江蘇省高等教育自學(xué)考試委員會辦公室

一、  課程性質(zhì)及其設(shè)置目的與要求

（一）課程性質(zhì)與特點

《高等幾何》是高等師范院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程之一，本課程在學(xué)生具備初等幾何、解析幾何與高等代數(shù)知識的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)地學(xué)習(xí)射影幾何的基本知識，使他們能用變換群觀點來看待幾何學(xué)，加深對幾何學(xué)和幾何空間概念的理解。本課程的主旨在于拓展讀者的幾何空間知識，學(xué)習(xí)了解變換群觀點，進而達到訓(xùn)練理性思維的能力，提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)的目的。本課程包括了許多著名的定理，奇妙的圖形。通過本課程的學(xué)習(xí)，可以有效地提高數(shù)學(xué)審美意識。

本大綱要求本課程的內(nèi)容處理上實行解析法與綜合法并用，以解析法為主。

（二）課程設(shè)置目的與要求

課程內(nèi)容包括：變換群與幾何學(xué)；射影平面；射影變換；二次曲線的射影理論；射影幾何的子幾何。

課程設(shè)置目的和要求：一方面使得學(xué)生拓寬眼界，擴大知識領(lǐng)域，提高抽象思維能力，為進一步學(xué)習(xí)其他課程打下基礎(chǔ)。另一方面使學(xué)生加深對中學(xué)幾何特別是解析幾何的理論與方法的理解, 使得學(xué)生加深對中學(xué)幾何特別是解析幾何的理論與方法的理解，從而獲得用高觀點來處理中學(xué)幾何問題的能力，為未來的中學(xué)幾何教學(xué)打下基礎(chǔ)。

二、  課程內(nèi)容與考核目標(biāo)

第一章  變換群與幾何學(xué)

（一）課程內(nèi)容

1．變換與變換群

 2．仿射坐標(biāo)和仿射平面

3．仿射變換

4．歐氏平面和保距變換

5．幾何學(xué)與變換群的關(guān)系

（二）學(xué)習(xí)與考核要求

本章是基于變換群的觀點，對幾何學(xué)的高度抽象概括，給出研究幾何學(xué)的變換群觀點。掌握仿射變換的定義、性質(zhì)和代數(shù)表達式；理解仿射坐標(biāo)和圖形的仿射性質(zhì)，掌握仿射對應(yīng)圖形；掌握保距變換的性質(zhì)和代數(shù)表達式；特別是基本仿射不變性---平行性和基本仿射不變量---單比，及其計算方法。

第二章  射影平面

（一）課程內(nèi)容

1．?dāng)U大仿射平面

2．射影平面

3．交比與調(diào)和共軛

4．對偶原理

（二）學(xué)習(xí)與考核要求

本章作為學(xué)習(xí)全課程的基礎(chǔ)和中心內(nèi)容，重點講解歐氏平面的拓展過程，在此基礎(chǔ)上給出射影直線和影射平面的概念和模型，使得學(xué)生明確了解歐氏直線和射影直線、歐氏平面和影射平面的區(qū)別和聯(lián)系。要求考生靈活運用Desargues 定理及其逆定理，它是證明三點共線和三線共點的有效工具之一。齊次坐標(biāo)是本章的重點和難點，要求考生掌握并正確使用，會求兩點連線方程及兩直線交點坐標(biāo)、會判斷三點是否共線。對偶原理是射影幾何的靈魂（包括幾何對偶和代數(shù)對偶），要求考生掌握并靈活應(yīng)用，會作對偶圖形，會寫對偶命題。而交比是射影基本不變量，它是研究射影變換的工具和基礎(chǔ)，要求熟練掌握交比與調(diào)和比的概念、性質(zhì)、應(yīng)用及計算方法。掌握完全四點形的調(diào)和性及其性質(zhì)，并能靈活運用。

第三章  射影變換

（一）課程內(nèi)容

1．一維射影變換

2．直射變換

  3．對射變換與配極

（二）學(xué)習(xí)與考核要求

本章是射影幾何的中心內(nèi)容和基礎(chǔ)理論，掌握透視對應(yīng)與射影對應(yīng)的關(guān)系，重點掌握一維射影對應(yīng)、一維射影變換和直射（二維射影）變換的概念、性質(zhì)、代數(shù)表達式及其求法；掌握一維射影變換及直射（二維射影）變換的不動元素及其求法。掌握對合的表達式及求法與對合不動元素及其求法。掌握配極的極點、極線的概念和求法；掌握配極原則的應(yīng)用、利用自極三點形化配極為標(biāo)準形式。

 第四章  二次曲線的射影理論

（一）課程內(nèi)容

1．配極變換與二次曲線

   2．一維射影對應(yīng)與二次曲線

   3．二階曲線的影射分類   

（二）學(xué)習(xí)與考核要求

本章是以二次曲線為研究對象，重點講述二階曲線和二級曲線的概念和配極理論。要求熟練掌握二階曲線的切線、極點、極線的概念和求法；熟練掌握帕斯卡定理、布利安香定理及配極原則并能靈活應(yīng)用；理解二階曲線的射影分類，并掌握利用射影坐標(biāo)變換化二階曲線方程為射影標(biāo)準方程。

第五章  射影幾何的子幾何

（一）課程內(nèi)容

1．無窮遠直線與仿射幾何

2．圓環(huán)點與歐氏幾何

（二）學(xué)習(xí)與考核要求

熟練掌握仿射變換的定義、性質(zhì)和代數(shù)表達式；熟練掌握二階曲線的中心，直徑與共軛直徑，漸進線等概念，能應(yīng)用有關(guān)定義、性質(zhì)和公式求解相關(guān)問題。了解二階曲線的仿射分類，熟練掌握利用仿射坐標(biāo)變換化二次曲線方程為仿射標(biāo)準方程。

注：本章考試內(nèi)容以第1節(jié)為主。

三、  有關(guān)說明

（一）教材及參考書目：

自學(xué)教材：羅崇善等編著，《高等幾何》，高等教育出版社，2006年。

參考書目：《高等幾何》，梅向明，劉增賢等編，高等教育出版社，第二版。

《高等幾何》，周興和，科學(xué)出版社，2003年版。

自學(xué)和命題以考試大綱為主要依據(jù)，在掌握了考試大綱要求的內(nèi)容同時，以例題和習(xí)題為重點。

（二）自學(xué)方法的指導(dǎo)

本課程作為一門專業(yè)課程，綜合性強，自學(xué)者在自學(xué)過程中應(yīng)該注意以下幾點：

1．本課程在學(xué)生具備初等幾何、解析幾何與高等代數(shù)知識的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)地學(xué)習(xí)射影幾何的基本知識，因此，自習(xí)前，要注意知識的積累與銜接。應(yīng)仔細閱讀課程大綱了解課程的性質(zhì)、地位和任務(wù)，熟悉課程的基本要求，使以后的學(xué)習(xí)緊緊圍繞課程的基本要求。

2．所配教材只是一個參考，自學(xué)中應(yīng)結(jié)合本課程大綱和參考書目，熟練掌握基本概念和方法的同時，能結(jié)合具體例子進行練習(xí)和運用，以達到本課程的要求。

（三）對社會助學(xué)的要求

1．應(yīng)熟知考試大綱對課程所提出的總的要求和各章的知識點。

2．對考生進行輔導(dǎo)時，除了以指定的教材為基礎(chǔ)外，應(yīng)以考試大綱為依據(jù)，關(guān)注補充參考書目，注重提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

（四）關(guān)于命題和考試的若干規(guī)定

1．本大綱各章所提到的考核要求中，各條細目都是考試的內(nèi)容，試題覆蓋到章，適當(dāng)突出重點章節(jié)，加大重點內(nèi)容的覆蓋密度。

2．試題難度結(jié)構(gòu)要合理，記憶、理解、綜合性試題比例大致為3：5：2。

3．本課程考試試卷可能采用的題型有：填空題、作圖題、計算題、證明題（見附件題型示例）。

4．考試方式為閉卷筆試，考試時間為150分鐘，評分采用百分制，60分為及格。

注：打 * 的章節(jié)不作要求。

附錄：題型舉例

填空題

平行四邊形的仿射圖形是  平行四邊形        。